Für viele Methoden und Verfahren ist es zwar wichtig zu verstehen, was diese machen und berechnen, aber die Formeln an sich braucht man anscheinend nur in Klausuren. Für den interessierten Leser finden sich hier einige wichtige Formeln zu bereits behandelten Themen.

Effektstärken

Gruppenunterschiede

Cohens \(d\)

Nach Cohen (1988 S. 20)1 \[d = \dfrac{\mu_1-\mu_2}{\sigma}\] mit \(\sigma\) als Standardabweichung der beiden Gruppen.

Nach Cohen (1988 S. 67) berechnet man \(d\) für Gruppen mit ungleichen Standardabweichungen gemäß \[\dfrac{\mu_1 - \mu_2}{s}\] mit der gepoolten Standardabweichung \[s = \sqrt{\dfrac{\sum{(x_1 - \mu_1)^2} + \sum{(x_2 - \mu_2)^2}}{n_1 + n_2 -2}}\] und \(x_1\), sowie \(x_2\) als individuelle Werte der Probanden in den Gruppen \(1\) und \(2\).

Hat man bereits deskriptive Statistiken berechnet, kann man die gepoolte Standardabweichung auch berechnen als \[s = \sqrt{\dfrac{s_1^2 + s_2^2}{2}}\]

Hedges’ \(g\)

Nach Hedges (1981 S. 110) \[g = \dfrac{\mu_1 - \mu_2}{s_\text{corrected}}\] mit der korrigierten Standardabweichung \[s_\text{corrected} = \sqrt{\dfrac{(n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 -2}}\]

Hedges’ \(g^*\)

Nach Hedges (1981 S. 111) erhält man \(g^*\) durch die Multiplikation von \(g\) mit dem Korrektur-Faktor \[J = \dfrac{\Gamma \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sqrt{\frac{\alpha}{2}} \cdot \Gamma \left(\frac{\alpha - 1}{2}\right)}\] und \[\alpha = n_1 + n_2 - 2\] Der Korrektur-Faktor wird, weil nicht jeder so leicht die Gamma-Funktion (\(\Gamma\)) berechnen kann, gerne approximativ angegeben als (Borenstein et al., 2009 S. 27) \[ J \approx 1 - \dfrac{3}{4(n_1 + n_2 - 2) - 1} \]

Glass’ \(\Delta\)

\[\Delta = \dfrac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma_\text{Kontrollgruppe}}\]

Zusammenhänge

Perasons \(r\)

\[r = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^n{\left(\frac{x_i - \bar{x}}{s_x}\right)\left(\frac{y_i - \bar{y}}{s_y}\right)}\] mit \(n\) als Anzahl Stichprobengröße, \(x_i\) und \(y_i\) als individuelle Werte der Probanden auf den Variablen \(x\) und \(y\), sowie \(\bar{x}\) und \(\bar{y}\) als Mittelwerte der beiden Variablen, sowie \(s_x\) und \(s_y\) als Standardabweichung der Variablen.

Literatur

Borenstein, M., Hedges, L. V., Higgins, Julian, P.T., & Rothstein, H. R. (2009). Introduction to Meta-Analysis. Wiley.

Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum Associates.

Hedges, L. V. (1981). Distribution Theory for Glass’s Estimator of Effect size and Related Estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128. https://doi.org/10.3102/10769986006002107

  1. im Sinne einer einheitlichen, einfachen und bekannten Notation, weiche ich an dieser Stelle von Cohens Notation ab und verwende die gängige Notation, die Studierende mehrheitlich lernen. Für die Übersichtlichkeit wird auf Indizes verzichtet.↩︎