Der \(t\)-Test, oder besser gesagt die \(t\)-Tests, sind eine kleine Gruppe von statistischen Signifikanztests, mit denen man Gruppenunterschiede zwischen zwei Gruppen untersuchen kann. Meistens unterscheidet man zwischen dem
Na super, drei Tests – aber ich wollte doch nur einen Test machen! Welchen nehme ich denn jetzt?!
Den Einstichproben-\(t\)-Test benutzt man, wenn man eine Aussage darüber treffen will, ob sich eine Population im Mittelwert von einem bereits bekannten Wert unterscheidet. Stell Dir vor, Du hast zufällig die Größe von 80 Leuten in der Dortmunder Innenstadt gemessen, die im Schnitt 181 cm groß sind. Nun möchtest Du wissen, ob sich diese mittlere Größe von Dortmundern von beispielweise 170 cm signifikant unterscheidet. Das kannst du mit einem Einstichproben-\(t\)-Test überprüfen (auch wenn man diese Fragestellung “in der freien Wildbahn” eigentlich nicht findet).
Der \(t\)-Test mit unabhängigen Stichproben ist in der Regel schon etwas anwendungsnäher, denn bei diesem wird untersucht, ob sich zwei Gruppen in ihrem Mittelwert unterscheiden. Beispielsweise möchtest Du untersuchen, ob sich die Kontrollgruppe am Ende einer Interventions-Studie signifikant von Deiner Interventionsgruppe unterscheidet. Im Gegensatz zum vorherigen Test, werden hier beide Mittelwerte erst einmal anhand der Probanden in den Gruppen bestimmt. Sollen also zwei Gruppen anhand einer kontinuierlichen Variable miteinander verglichen werden, ist das ein valider Ansatz. Liegen mehrere Gruppen vor, deren Mittelwerte Du anhand einer Variable auf signifikante Unterschiede vergleichen möchtest, dann solltest du über ein anderes Verfahren, wie die ANOVA (s.u.) nachdenken.
Der \(t\)-Test für abhängige, oder verbundene, Stichproben kommt zutragen, wenn die Unabhängigkeitsannahme (siehe Voraussetzungen im GLM) verletzt ist. Ein einfaches Beispiel wärst Du, der/die eine tolle Therapie für Patienten mit depressiver Störung entwickelt hat. Nun hast Du ein paar Patienten gefunden, die deine Therapie ausprobieren wollen und erhebst vor und nach der Therapie die mittlere “Depressivität”. Im Anschluss daran möchtest Du jetzt herausfinden, ob sich die Werte über die Zeit signifikant verbessert haben. Pro Proband hast du einen Prä- und einen Post-Wert (= vor und nach der Therapie). Das bedeutet jedoch, dass die Unabhängigkeitsannahme verletzt ist, weil mehrere Datenpunkte von einer Person kommen. Kein Problem, bei zwei Messungen nutzt Du einfach den \(t\)-Test für verbundene Stichproben.
Die Daten zum fleißigen Mitrechnen findest Du wie immer im Git-Repository oder im Paket costatcompanion.
Die \(t\)-Tests sind gut und einfach nachzuvollziehen. Mit ihnen können wir zwei Gruppen anhand kontinuierlicher Variablen ganz gut miteinander vergleichen. In den meisten Fällen hat man aber nicht nur zwei Gruppen (oder auch zwei Messzeitpunkte). Möchte man zwei oder mehr Mittelwerte nun vergleichen, muss man sich Varianzanalysen (Analysis of Variance, ANOVA) genauer anschauen, denn die sind genau für diesen Fall gemacht. Hier behandeln wir verschiedene ANOVAs, nämlich die
Die ANOVA ist ein sehr mächtiges Werkzeug, da sehr breit in ihren Möglichkeiten. Um sich für eines der Verfahren zu entscheiden, muss man erst einmal festlegen, was genau man machen möchte und etwas “ANOVA-Sprache” lernen.
Das erste neue Wort ist Faktor; durch Faktoren werden die Gruppen, die wir miteinander vergleichen möchten, definiert. Ein Fakto kann beispielsweise “Geschlecht” sein, das zwei Gruppen umfasst. Ein anderer Faktor könnte “Experimentalbedingung” sein, der dann so viele Gruppen wie Bedingungen umfasst, usw. Etwas komplizierter wird es, wenn wir die Faktoren noch weiter differenzieren. Es gibt nämlich Zwischensubjekt-Faktoren (between-subjects factors) und Innersubjekt-Faktoren (within-subjects factors). Mit Zwischensubjekt-Faktoren werden die Probanden, oder was auch sonst getestet wurde, einfach gesagt in Gruppen eingeteilt. “Geschlecht” ist so ein klassischer Zwischensubjekt-Faktor, denn das Geschlecht lässt mich zwischen den Probanden differenzieren. Mit Innersubjekt-Faktoren werden Bedingungen innerhalb einer Probanden, oder was auch sonst getestet wurde, unterschieden. Ein klassischer Innersubject-Faktor ist beispielweise “Zeit”, wenn ein Proband mehrmals getestet wird. Innerhalb des Probanden gibt es also verschiedene Bedingungen, deren Unterschied man ebenfalls beziffern möchte.
ANOVAs, die ausschließlich Zwischensubjekt-Faktoren berücksichtigen, werden schlicht faktorielle ANOVAs bezeichnet. Wenn man die statistischen Methoden berichten will, ist es immer eine gute Idee, die Anzahl der Faktoren anzugeben. Der Sonderfall einer faktoriellen ANOVA ist eine mit nur einem Faktor; diese heißt dann “einfaktorielle ANOVA” (one-way anova). Eine ANOVA mit zwei Faktoren ist “zweifaktoriell” (two-way), eine mit drei Faktorien “dreifaktoriell” (three-way) – an dieser Stelle sollte die Idee klar sein.
ANOVAs mit ausschließlich Innersubjekt-Faktoren werden meißtens als ANOVAs mit Messwiederholungen bezeichnet (repeated measures ANOVA), weil ein Proband, oder was auch immer, mehrmals getestet wurde. Die Menge der Faktoren gibt man wie bei der faktoriellen ANOVA an: eine ANOVA mit Messwiederholung und einem Faktor nennt man also “einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung” (one-way repeated measures ANOVA).
ANOVAs, in denen man Zwischen- und Innersubjekt-Faktoren gleichzeitig verwendet, werden “Mixed ANOVAs” genannt, weil hier beide Faktorarten gemischt werden “mischen”. Die Benennung folgt demselben Schema: Unabhängig davon, welcher Art die Faktoren sind (zwischen- oder innersubjekt), wird wieder die Anzahl der Faktoren angegeben. Das einfachste gemischte Design ist eine ANOVA mit einem Zwischen- und einem Innersubjektfaktor. In der Summe sind das zwei und somit berechnen wir eine “zweifaktorielle gemischte ANOVA” (two-way mixed ANOVA).
Möchte man noch genauer sein, was sehr empfehlenswert ist, sollte man am besten auch direkt die Anzahl der Faktorstufen angeben. Die Faktorstufen geben an, wie viele Gruppen ein Faktor umfasst. Der Faktor “Geschlecht” hat so zwei Faktorstufen (nämlich “männlich” und “weiblich”). Wenn man Probanden über drei Messzeitpunkte beobachtet, hat dieser Innersubjekt-Faktor drei Faktorstufen (\(t_1\), \(t_2\) und \(t_3\)). Analysieren wir beispielweise die Daten einer Studie, in der Geschlecht (männlich vs. weiblich) und Experimentalbedingung (Kontrollgruppe vs. Experimentalgruppe) berücksichtigt wurden, dann können wir eine 2 \(\times\) 2 faktorielle ANOVA berechnen. So hätte man auf kurze Weise beschrieben, wie viele Faktoren mit wie vielen Faktorstufen man in die Analyse mit einbezieht.
Die ausführlichste Darstellung des Designs umfasst die eben eingeführte Schreibweise unter Angabe der Faktorarten und -stufen. Betrachten wir zur Veranschaulichung eine Studie, in der eine neue Intervention im Vergleich zu einer Kontrollgruppe untersucht wurde. Beide Gruppen wurden über 3 Messzeitpunkte beobachtet. Wir haben somit einen Zwischensubjektfator “Gruppenzugehörigkeit” und einen Innersubjektfaktor “Messzeitpunkt”. Berichten kann man das als:
2 \(\times\) 3 faktorielle gemischte ANOVA mit dem Zwischensubjekt-Faktor “Gruppenzugehörigkeit” mit zwei Faktorstufen (Kontrollgruppe vs. Interventionsgruppe) und einem Innersubjektfaktor mit drei Faktorstufen (\(t_1\), \(t_2\) und \(t_3\)).
Wenn man das liest, weiß man sofort, worum es geht.
Eine ANOVA ist ein Omnibus-Test, d.h., dass uns ein signifikantes Ergebnis erstmal nur sagt, dass sich die Gruppenmittelwerte (die Mittelwerte der unterschiedlichen Faktorstufen) voneinander unterscheiden. Wir wissen aber noch nicht wo genau. Im Grunde ist ein signifikantes Ergebnis einer ANOVA eine Aufforderung dazu, weitere Untersuchungen anzustellen. An dieser Stelle hat man nun zwei Möglichkeiten; entweder man hat bereits eine Hypohese oder Ahnung, wo die Unterschiede liegen könnten. In diesem Fall kann man vorab Kontrase (also geplante Kontraste) definieren und diese Unterschiede prüfen. Hat man noch keine Hypothesen, darf man sich überraschen lassen und Post-hoc-Tests berechnen. Dabei werden alle Gruppen paarweise miteinander verglichen und die \(p\)-Werte, je nach Methode, für die \(\alpha\)-Feler-Kumulierung korrigiert.
Hier gehts zur weiteren Informationen zu Kontrasten und Post-hoc-Tests.
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